Энья, тут запрещено жить вместе, если вы не расписаны. Я знаю одну такую пару, они пару лет жили в Катаре без никаких проблем. О том, что они не женаты я узнала после того, как они покинули Катар. Также известны случаи, когда соседи/коллеги и пр. задавали лишние вопросы или в госпитале и т.п. прояснялось, и заканчивалась всё очень геморройно. То есть решать тебе, рисковать или нет. В худшем случае вас депортируют из страны.
Я бы расписалась на всякий случай. Ибо придется постоянно заниматься конспирацией.
Доха, это бледная копия Дубай. Я бы даже сказала тусклая. :) Одной гулять более менее безопасно, если, конечно, ты не будешь гулять в миниюбке где-то в пустыне возле бараков с рабочими.
Работу найти можно, но это проще делать, если муж спонсор твоей визы. Если у тебя виза от компании, то тебе надо её менять, получать письмо о том, что они не возражают и всё такое.

Кас. пекинеса: его можно привезти. См тут: http://www.qatarpetrelocators.com/
http://www.qatar.alloexpat.com/qatar_information/pets_to_bring_into_qatar.php